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'''-指示函数''' (英语:-indicator,[[希顶语]]:- )是一个将[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html 素数]映到[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html prime numbers]到 [https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html ''p'' 进数]的数学函数,指示着两个素数在[https://mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html 二次剩余]意义下有多么“相似”。 ==定义== 对任意奇素数 ''p'',定义 -指示函数 <sub>''p''</sub> : {''q'':''q'' is a prime}∪{∞}→'''Q'''<sub>''p''</sub>,其中 '''Q'''<sub>''p''</sub>代表 ''p'' 进数域: <sub>''p''</sub>(''q'') := ∑<sub>''n''∈'''N'''<sup>+</sup></sub> Kronecker(-''n''|''q'') ''p''<sup>''n''</sup> 其中 Kronecker 代表 [https://mathworld.wolfram.com/KroneckerSymbol.html Kronecker 符号];对于 ''q''=∞,由于所谓“无穷素数”上的局部域(即 '''Q'''<sub>∞</sub>)代表实数域 '''R''',而所有负数在 '''R''' 上都没有平方根,故我们定义: <sub>''p''</sub>(∞) := ∑<sub>''n''∈'''N'''<sup>+</sup></sub> -''p''<sup>''n''</sup> = ''p''/(''p''-1) 显然,对任意素数 ''q''(包括“无穷素数”),上述无穷级数的项的系数是周期性的,故 -指示函数的值一定是个[https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html 有理数]。进一步地,当 ''q'' 是有限奇素数时,<sub>''p''</sub>(''q'') 乘以 (''p''<sup>''q''</sup>-1) 是整数,而 <sub>''p''</sub>(2) 乘以 (''p''<sup>8</sup>-1) 也是整数。 ==例子== 以下是 ''p''=3 情形的一些例子: * <sub>3</sub>(2)=-12/41 * <sub>3</sub>(3)=-3/13 * <sub>3</sub>(5)=-24/121 * <sub>3</sub>(7)=-453/1093 * <sub>3</sub>(11)=-24249/88573 * ... ==用途== 对于两个“素数 ”''q''<sub>1</sub> 和 ''q''<sub>2</sub>(无论是否有限),[https://mathworld.wolfram.com/p-adicNorm.html ''p'' 进距离] |<sub>''p''</sub>(''q''<sub>1</sub>)-<sub>''p''</sub>(''q''<sub>2</sub>)|<sub>''p''</sub> 描述着 ''q''<sub>1</sub> 和 ''q''<sub>2</sub> 的相似程度。若对某个正整数 ''n'' 有 |<sub>''p''</sub>(''q''<sub>1</sub>)-<sub>''p''</sub>(''q''<sub>2</sub>)|<sub>''p''</sub> < ''p''<sup>-''n''</sup>,则我们可以得到,无论是负整数 -1 至 -''n'' 还是正整数 1 至 ''n''(想想为什么?),在 ''q''<sub>1</sub> 进数系和 ''q''<sub>2</sub> 进数系的“表现”(指该整数是否平方数)都是一样的。 ==另见== {{译文|en = -indicator}} [[分类:Mathematics]]
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